Ο Πραξιτέλης Βούρος γεννήθηκε στη Μυτιλήνη το 1995. Ξεκίνησε την καριέρα του από την σχολή ποδοσφαίρου του Ολυμπιακού στην περιοχή. Στη συνέχεια μεταπήδησε στον Αιολικό και παρέμεινε εκεί μέχρι το 2012. Τότε επέστρεψε τον Ολυμπιακό και ένα χρόνο αργότερα υπέγραψε το πρώτου επαγγελματικό συμβόλαιο.
Τα πρώτα δυο χρόνια αγωνιζόταν περισσότερο με την δεύτερη φανέλα της ομάδας. Το ντεμπούτο του με τη φανέλα του Ολυμπιακού πραγματοποιήθηκε στις 10 Οκτωβρίου 2013, σε έναν αγώνα Κυπέλλου εναντίον του Φωκικού, μπαίνοντας ως αλλαγή.
- Στις 6 Απριλίου 2014 έκανε και το ντεμπούτο του στη Super League, απέναντι στον ΠΑΣ Γιάννινα, ξεκινώντας ως βασικός.
- Στις 29 Σεπτεμβρίου 2015, έκανε και το ντεμπούτο του στο Champions League, απέναντι στην Άρσεναλ, μπαίνοντας ως αλλαγή για τα τελευταία 4 λεπτά, σε εκείνη την αξιοσημείωτη αναμέτρηση, όπου ο Ολυμπιακός είχε κερδίσει 2-3 την Άρσεναλ, μέσα στο Emirates.
Το καλοκαίρι του 2016 ο Ολυμπιακός έδωσε 4 ευρωπαϊκούς αγώνες, στα τρία από αυτά ο Βούρος συμπεριλήφθηκε στην αποστολή, αλλά δεν αγωνίστηκε. Την πρόκριση του Ολυμπιακού στους ομίλους του Europa League, ακολούθησε η λίστα των ποδοσφαιριστών που θα έχει στη διάθεσή του ο Μπέντο, για τους έξι αγώνες των ομίλων, με τον Βούρο να συγκαταλέγεται ανάμεσα σε αυτούς.
Τον Νοέμβριο του 2016 η ΠΑΕ Ολυμπιακός προχώρησε σε επαφές με τον Βούρο, ώστε να ανανεωθεί το συμβόλαιό του, όμως οι απαιτήσεις του κρίθηκαν υπερβολικές από τον πειραϊκό σύλλογο και η ανανέωση τελικά δεν έγινε, με αποτέλεσμα να μην υπολογίζεται από το τεχνικό τιμ της ομάδας.
Δανεισμός στον Λεβαδειακό και ο ΑΠΟΕΛ
Στις 23 Ιανουαρίου 2017 ο Λεβαδειακός, ανακοίνωσε την απόκτησή του με τη μορφή δανεισμού, για ένα εξάμηνο. Μερικές μέρες αργότερα και συγκεκριμένα στις 29 του ίδιου μήνα, έκανε το ντεμπούτο με τη φανέλα του Λεβαδειακού στο Πρωτάθλημα, εναντίον του Παναθηναϊκού, αγωνιζόμενος για 90 λεπτά, με το τελικό αποτέλεσμα να είναι 0-0. Στις 29 Αυγούστου 2017 η κυπριακή ομάδα ΑΠΟΕΛ ανακοίνωσε επίσημα τον Βούρο, ο οποίος υπέγραψε συμβόλαιο τριετούς διάρκειας.