Ο Άλκις Κούρκουλος πήρε το πρώτο του χειροκρότημα στο θέατρο την ημέρα που γεννήθηκε, καθώς ο πατέρας του λίγο πριν την πρεμιέρα της παράστασης Ίλια Ντάρλινγκ στη Φιλαδέλφεια των ΗΠΑ πληροφορήθηκε από τηλεγράφημα τη γέννηση του, εκείνο το βράδυ ο μαέστρος λίκνιζε τα χέρια του σαν να νανούριζε μωρό,με το τέλος της παράστασης το κοινό ξέσπασε σε χειροκροτήματα.
Γεννήθηκε και μεγάλωσε στην Αθήνα κοντά στο Πεδίον του Άρεως, όπου ζει μέχρι και σήμερα. Όταν ήταν μόλις τριών μηνών ταξίδεψε στην Αμερική με την μητέρα του για να συναντήσει για πρώτη φορά τον πατέρα του. Έχει τρία αδέλφια: τη Μελίτα και την Εριέττα και τον Φίλιππο από τον δεύτερο γάμο του πατέρα του με τη Μαριάννα Λάτση. Νονά του είναι η Ελληνίδα ηθοποιός Μαίρη Χρονοπούλου που υπήρξε πολύ στενή φίλη του πατέρα του.
Μικρός δεν ήθελε να ασχοληθεί με την υποκριτική, σε ηλικία 13 ετών μάλιστα είχε δηλώσει πως θα άλλαζε το επίθετο του. Μικρός δεν ήταν ήσυχος και άλλαξε κάποιες φορές σχολείο. Αρχικά σπούδασε στη Σχολή Κινηματογράφου Τηλεόρασης Λυκούργου Σταυράκου διεύθυνση φωτογραφίας. Στη συνέχεια σπούδασε στη Δραματική Σχολή του Εθνικού Θεάτρου.
Εργάστηκε για κάποιο διάστημα ως βοηθός σκηνοθέτη και ηχολήπτης. Το 1985 έκανε το ντεμπούτο του στον κινηματογράφο, στην ταινία του Μανούσου Μανουσάκη Η Σκιάχτρα, παίζοντας έναν νεαρό που ερωτεύεται μια νεράιδα. Ακολούθησε το 1987 η πρώτη εμφάνιση στην τηλεόραση στο Παραμύθι χωρίς όνομα του Μανουσάκη και πάλι στην ΕΤ1. Το 1989 εμφανίζεται στο θέατρο με το έργο Γεια Σου, του Μπέρναρντ Σλέιντ. Πολύ γνωστός έγινε από την ταινία του Γιώργου Τσεμπερόπουλου Άντε Γεια το 1990 και εντάχθηκε στη λίστα με τους ταχύτατα ανερχόμενους ζεν πρεμιέ.
Ακολούθησαν οι μεγάλες του επιτυχίες μέσα από τη συχνότητα του Mega Channel Αναστασία (1993) και Λόγω Τιμής (1996). Έπειτα πρωταγωνίστησε στο Κρεσέντο στο Star (2000) και στο Ξέχασε Με στον Alpha (2004). Στον κινηματογράφο έπαιξε στις ταινίες Προς την ελευθερία (1996), Black Out (1998), Το φως που σβήνει (2000), Poker Face (2012), Τέλειοι Ξένοι (2016)
Η θεατρική του καριέρα συνεχίστηκε με συμμετοχές σε κεντρικά και περιφερειακά θέατρα. Mετά το Γεια Σου (1989) ακολούθησαν Διπλή Απιστία (1991), το Ημερολόγιο της Άννας Φράνκ (1992), το Φιντανάκι (1995), Ο θάνατος του εμποράκου (2002), Fool for love (2010), Πρόβα Νυφικού (2013), Μυστικοί Αρραβώνες (2014), Φιλουμένα (2015), Ταρτούφος (2016), Μαντάμ Σουσού (2017), Art (2018).
- Δραστηριοποιήθηκε και ως παραγωγός για ένα διάστημα στο θέατρο ΚΑΠΠΑ, γεγονός που όπως έχει δηλώσει τον κατέστρεψε οικονομικά.
- Έχει δανείσει τη φωνή του στο Σερίφη Γούντι, στη μεταγλώττιση της αμερικανικής σειράς ταινιών Toy Story.
- Ο ίδιος, όπως έχει πει σε συνέντευξή του, θέλει να περνά καλά στις παραγωγές που συμμετέχει για αυτό άλλωστε έχει απορρίψει κάποιες επαγγελματικές προτάσεις, καθώς αισθανόταν πως δεν θα ικανοποιούνταν. Δεν υπήρξε ποτέ καριερίστας.