Ο Αλέξανδρος Πασχαλάκης γεννήθηκε στις 28 Ιουλίου 1989. Ξεκίνησε την ποδοσφαιρική του καριέρα στην Τερψιθέα. Στη συνέχεια, έπαιξε στην ομάδα Νέων της ΑΕΚ για ένα χρόνο και έπειτα στην ομάδα Νέων του Ολυμπιακού για 2 χρόνια (2003-2005). Ακολούθως, μετακινήθηκε στην ομάδα της Ηλιούπολης. Στην ηλικία των 17 ετών πήγε στην ομάδα νέων της Γαλατασαράι, όμως δεν μπόρεσε να υπογράψει συμβόλαιο εξαιτίας περιορισμών στον αριθμό ξένων παικτών.
Το καλοκαίρι του 2008, υπέγραψε συμβόλαιο με το Λεβαδειακό. Το καλοκαίρι του 2012, υπέγραψε συμβόλαιο με την κυπριακή ΠΑΕΕΚ. Η Ακχισάρ Μπελεντίγεσπορ ενδιαφέρθηκε για τον Πασχαλάκη, αλλά αυτός δεν ήθελε να μετακομίσει εκεί. Αφού επέστρεψε στην Ελλάδα και έμεινε για 6 μήνες χωρίς ομάδα και τον Ιανουάριο του 2014 υπέγραψε στον Πανθρακικό, στον οποίο έπαιξε μόλις 13 αγώνες μέχρι τον Ιανουάριο του 2016.
Στις 26 Ιανουαρίου 2016, μετακινήθηκε στον ΠΑΣ Γιάννινα με σκοπό να αντικαταστήσει το Μάρκο Βελλίδη, ο οποίος πήρε μεταγραφή στον ΠΑΟΚ. Δεν έπαιξε καθόλου τους πρώτους έξι μήνες στην ομάδα. Στις 25 Ιουλίου 2017, ο 28χρονος τερματοφύλακας, ο οποίος δεσμεύθηκε με σύμβαση με τον σύλλογο μέχρι το καλοκαίρι του 2018, είχε ασκήσει έφεση, λόγω καθυστέρησης πληρωμής του ετήσιου μισθού του. Ο Αθηναίος τερματοφύλακας είχε μία εξαιρετική σεζόν το 2016-17, παίζοντας σε 27 αγώνες(9 αγώνες χωρίς να δεχτεί τέρμα), εκ των οποίων οι τέσσερις στο Europa League. Ο ΠΑΟΚ, μαζί με τον Αστέρα Τρίπολης και τον Παναθηναϊκό, εξέφρασαν ενδιαφέρον για την απόκτηση του Την 1η Αυγούστου, αποδεσμεύτηκε από τον ΠΑΣ Γιάννινα.
Το κεφάλαιο ΠΑΟΚ και η καθιέρωση
Λίγες μέρες μετά την αποδέσμευση του από τον ΠΑΣ, υπέγραψε μονοετές συμβόλαιο με τον ΠΑΟΚ. Στις 2 Δεκεμβρίου 2017, έκανε το ντεμπούτο του στην εκτός έδρας νίκη με 3-0 επί της Ξάνθης. Μια μέρα αργότερα, ανανέωσε το συμβόλαιο του με την ομάδα μέχρι το καλοκαίρι του 2020. Ο 28χρονος τερματοφύλακας αύξησε το μισθό του και η ρήτρα αποδέσμευσης ορίστηκε στα 5 εκατομμύρια ευρώ.
Αρχικά, είχε προγραμματιστεί πως θα είναι αναπληρωματικός του Αργεντινού Ροδρίγο Ρέι, αλλά από τη στιγμή που ο προπονητής Ραζβάν Λουτσέσκου του έδωσε μια ευκαιρία, έκανε τον εαυτό του αδιαμφισβήτητο βασικό τερματοφύλακα της ομάδας. Από τις 4 Φεβρουαρίου 2018, ο Πασχαλάκης κατέχει το ρεκόρ του ΠΑΟΚ για περισσότερα διαδοχικά λεπτά χωρίς να δεχτεί γκολ, με 971, εκτός του χρόνου καθυστερήσεων (συνολικά 1008), προτού δεχτεί ένα στην εκτός έδρας νίκη με 1-3 νίκες επί του ΠΑΣ Γιάννινα , για να ξεπεράσει τον Κώστα Χαλκιά με 859 διαδοχικά λεπτά. Δίχως έκπληξη, ο ΠΑΟΚ, εκείνη την περίοδο, είχε την καλύτερη άμυνα στη Super League , έχοντας δεχτεί μόλις επτά γκολ σε δεκαεννέα αγώνες, ένα στατιστικό στοιχείο που οφείλεται κυρίως, στις εξαιρετικές επιδόσεις του Πασχάλη κάτω από τα δοκάρια. Στο φινάλε της σεζόν έφτασε στην κατάκτηση του κυπέλλου Ελλάδος, με τον ΠΑΟΚ να κερδίζει στον τελικό την ΑΕΚ με σκορ 2-0. Ο ίδιος έπαιξε σε όλο τον αγώνα.
Στις 8 Αυγούστου 2018, εξουδετέρωσε ένα πέναλτι από τον Κουίνσι Πρόμες στο δεύτερο ημίχρονο του νικητήριου εντός έδρας αγώνα με 3-2, για τον πρώτο αγώνα του τρίτου προκριματικού γύρου του Champions League, εναντίον της Σπαρτάκ Μόσχας, βοηθώντας τον σύλλογο να διατηρήσει τη νίκη. Συνεχίζοντας την εξαιρετική σεζόν του 2017-18, ο Πασχαλάκης μετά από τη μέση της σεζόν 2018-19 έπαιξε κάθε λεπτό στους αγώνες πρωταθλήματος, έχοντας δεχθεί μόλις 6 γκολ σε 15 αγώνες, ενώ κράτησε ανέπαφη την εστία του 9 φορές. Στις 17 Ιανουαρίου 2019, επιβραβεύτηκε από την ομάδα με νέο συμβόλαιο μέχρι 2022. Οι καλές εμφανίσεις συνεχίστηκαν μέχρι και το τέλος της χρονιάς, με τον ίδιο να αναδεικνύεται σε έναν από τους κύριους παράγοντες για την κατάκτηση του νταμπλ από την ομάδα του ΠΑΟΚ, αφού πέρα από το πρωτάθλημα κατέκτησε και το κύπελλο, σε μία ονειρική χρονιά για τον ίδιο και την ομάδα.
Με την εθνική ομάδα
- Στις 5 Οκτωβρίου 2018, ο προπονητής της Εθνικής Ελλάδας, Μίχαελ Σκίμπε, κάλεσε τον τερματοφύλακα για τους αγώνες της ομάδας στο Πρωτάθλημα Εθνών ΟΥΕΦΑ, εναντίον της Ουγγαρίας και της Φινλανδίας.
- Στις 30 Μαΐου 2019, έκανε το ντεμπούτο του για την Εθνική ομάδα, σε μία εκτός έδρας φιλική ήττα με 2-1 εναντίον της Τουρκίας.